증명하고자 하는 정리 :
연속함수 f:[a,b]->R이 모든 x ∈ (a,b)에 대해 dy/dx=0이면 f(b)=f(a)
보조정리 1 :
(x_n)을 [a,b]사이의 임의의 무한급수라고 할 때, 이것은 수렴하는 부분수열을 가진다.
y_k=sup{x_n|n≥k}라고 하면 모든 k에 대해 y_k가 [a,b]안에 존재한다.
y_k는 증가하지 않는 수열이고, 이 수열의 하한을 y라고 하면 y_k는 y로 수렴한다.
따라서 임의의 ε에 대해 y의 ε근방에서 y_k의 원소를 택할 수 있고,
이 수열은 y로 수렴하는 (x_n)의 부분수열이다.
보조정리 2 :
[a,b]에서 정의된 연속함수 f는 유계이다.
f가 유계가 아니라고 하면,
각 n에 대해서 x_n ∈ [a,b]이고 |f(x_n)|>n을 만족하는 수열 x_n이 존재한다.
x_n은 [a,b]의 한 값 x로 수렴하는 부분수열을 가지고,
f의 연속성에서 충분히 큰 n에 대해서 |f(x)-f(x_n)|<1을 만족해야 하지만
|f(x_n)|<|f(x)|+1에서 모순이므로 f는 유계이다.
보조정리 3 :
[a,b]에서 정의된 연속함수 f는 최대값을 갖는다.
일반성을 잃지 않은 채, 최대값이 존재함을 보인다.
M을 f의 상한이라고 하고, f가 이 값을 가지지 않는다고 가정하자.
f(x)=M-f(x)라고 하면 구간 [a,b]에서 g(x)>0이고, 1/g는 연속이다.
따라서 1/g는 N에 의해서 유계이고, M-f(x)>1/N이다.
즉, f(x)
보조정리 4 :
(a,b)에서 미분가능한 함수 f가 c ∈ (a,b)에서 극값을 가지면, f'(c)=0이다.
g(x)를 x=c일 때 0, x≠c일 때 (f(x)-f(c))/(x-c)로 정의하고, f'(c)>0라고 하자.
모든 원소 x에 대해서 g(x)>0 을 만족하는 구간 J가 존재하고,
xc일 때 f(x)>f(c)이므로,
따라서 f는 c에서 극값을 가지지 않는다.
f'(c)<0이라 가정해도 마찬가지이고, 따라서 g(x->c)=0, f'(c)=0이다.
보조정리 5 : (롤의 정리)
[a,b]에서 정의된 연속함수 f가 구간 (a,b)에서 미분가능하고 f(a)=f(b)이면
f'(c)=0를 만족하는 c ∈ (a,b)가 존재한다.
모든 c ∈ (a,b)에 대해 f'(c)≠0이면
f는 [a,b] 최대값을 갖지만 (a,b)에서 극값이 아니므로, 끝점에서 극값을 가진다.
f(a)=f(b)이므로 f는 상수함수이고, 따라서 모든 c에 대해 f'(c)=0이므로 모순.
보조정리 6 : (평균값 정리)
[a,b]에서 정의된 연속함수 f가 구간 (a,b)에서 미분가능하면,
f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)를 만족하는 c ∈ (a,b)가 존재한다.
h(x)=f(x)(b-a)-x(f(b)-f(a))라고 두고, h(x)에 롤의 정리를 적용하면
h'(c)=0을 만족하는 c ∈ (a,b)가 존재하고,
이 c는 f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)를 만족한다.
증명 :
f(a)≠f(b)라고 하면, f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)≠0을 만족하는 c가 존재하고,
가정에 모순이므로 f(a)=f(b)
연속함수 f:[a,b]->R이 모든 x ∈ (a,b)에 대해 dy/dx=0이면 f(b)=f(a)
보조정리 1 :
(x_n)을 [a,b]사이의 임의의 무한급수라고 할 때, 이것은 수렴하는 부분수열을 가진다.
y_k=sup{x_n|n≥k}라고 하면 모든 k에 대해 y_k가 [a,b]안에 존재한다.
y_k는 증가하지 않는 수열이고, 이 수열의 하한을 y라고 하면 y_k는 y로 수렴한다.
따라서 임의의 ε에 대해 y의 ε근방에서 y_k의 원소를 택할 수 있고,
이 수열은 y로 수렴하는 (x_n)의 부분수열이다.
보조정리 2 :
[a,b]에서 정의된 연속함수 f는 유계이다.
f가 유계가 아니라고 하면,
각 n에 대해서 x_n ∈ [a,b]이고 |f(x_n)|>n을 만족하는 수열 x_n이 존재한다.
x_n은 [a,b]의 한 값 x로 수렴하는 부분수열을 가지고,
f의 연속성에서 충분히 큰 n에 대해서 |f(x)-f(x_n)|<1을 만족해야 하지만
|f(x_n)|<|f(x)|+1에서 모순이므로 f는 유계이다.
보조정리 3 :
[a,b]에서 정의된 연속함수 f는 최대값을 갖는다.
일반성을 잃지 않은 채, 최대값이 존재함을 보인다.
M을 f의 상한이라고 하고, f가 이 값을 가지지 않는다고 가정하자.
f(x)=M-f(x)라고 하면 구간 [a,b]에서 g(x)>0이고, 1/g는 연속이다.
따라서 1/g는 N에 의해서 유계이고, M-f(x)>1/N이다.
즉, f(x)
보조정리 4 :
(a,b)에서 미분가능한 함수 f가 c ∈ (a,b)에서 극값을 가지면, f'(c)=0이다.
g(x)를 x=c일 때 0, x≠c일 때 (f(x)-f(c))/(x-c)로 정의하고, f'(c)>0라고 하자.
모든 원소 x에 대해서 g(x)>0 을 만족하는 구간 J가 존재하고,
x
따라서 f는 c에서 극값을 가지지 않는다.
f'(c)<0이라 가정해도 마찬가지이고, 따라서 g(x->c)=0, f'(c)=0이다.
보조정리 5 : (롤의 정리)
[a,b]에서 정의된 연속함수 f가 구간 (a,b)에서 미분가능하고 f(a)=f(b)이면
f'(c)=0를 만족하는 c ∈ (a,b)가 존재한다.
모든 c ∈ (a,b)에 대해 f'(c)≠0이면
f는 [a,b] 최대값을 갖지만 (a,b)에서 극값이 아니므로, 끝점에서 극값을 가진다.
f(a)=f(b)이므로 f는 상수함수이고, 따라서 모든 c에 대해 f'(c)=0이므로 모순.
보조정리 6 : (평균값 정리)
[a,b]에서 정의된 연속함수 f가 구간 (a,b)에서 미분가능하면,
f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)를 만족하는 c ∈ (a,b)가 존재한다.
h(x)=f(x)(b-a)-x(f(b)-f(a))라고 두고, h(x)에 롤의 정리를 적용하면
h'(c)=0을 만족하는 c ∈ (a,b)가 존재하고,
이 c는 f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)를 만족한다.
증명 :
f(a)≠f(b)라고 하면, f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)≠0을 만족하는 c가 존재하고,
가정에 모순이므로 f(a)=f(b)
