Dirac Delta Function

Dirac Delta Function [[\delta(x-a)]]은 다음과 같은 성질을 갖는 함수로 정의된다.


1. [[\delta(x-a)=0]] for [[x\ne a]]
2. 적분구간이 a를 포함하면 [[\int \delta(x-a) dx = 1 ]]이고, 아니면 0이다.


위 정의에 따라, 임의의 함수 [[f(x)]]에 대해 다음 성질을 가짐이 자명하다.
3. [[\int f(x) \delta (x-a) dx = f(a) ]]


[[ f(x) }} 와 Delta Function의 미분과의 곱의 적분은 Delta Function이 일반적인, 날카로운 peak를 가진 함수라고 생각하고 이해하면 된다.
4. [[\int f(x) \delta ' (x-a) dx = -f' (a)]]


독립변수 [[x]]에 대한 함수 [[f(x)]]가 인수로 주어진 Delta Function은, 다음 규칙에 따라 변형될 수 있다.
5. [[\delta (f(x)) = \sum _i \frac 1 { \left | \frac {df} {dx} (x_i) \right | } \delta (x - x_i)]]
여기서 [[f(x)]]는 simple zero인 [[x_i]]을 갖는다고 가정한다.


1차원 이상일 떄는, 각 차원으로의 Delta Function을 곱한 것으로 정의한다. 3차원의 경우 직교좌표에서,
6. [[\delta ( \vec x - \vec X ) = \delta ( x_1 - X_1 ) \delta (x_2 - X_2) \delta(x_3 - X_3)]]
으로 정의되고, 이 함수는 [[\vec x = \vec X]]인 점을 제외한 모든 구간에서 0이다. 또한 다음 조건을 만족한다.


7. [[\int _V \delta ( \vec x - \vec X ) d^3 x = \left { { \text { } 1 \text {     if V contains } \vec x = \vec X \\ \text { } 0  \text {    if V does not contain } \vec x = \vec X} ]]

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와 TeX재밌땅 ㅋㅋㅋ